クレジット・トライアングルとハザードレート

Credit Triangleとは、以下の関係式のことである。

 
CDSスプレッド=ハザードレート×LGD
 
これは次のような仮定を置くことで得られる。
・ハザードレートが時点によらず一定(フラット)
・クレジットと金利は独立
 
実際にはこれらの仮定は成り立たないため、クレジット・トライアングルはあくまで近似的にしか成立しないことになる。
 
ここで、クレジット・トライアングルを間違って以下のように覚えてしまっている人もいる。
 
CDSスプレッド=PD×LGD
 
一口にPD、つまりデフォルト確率と言っても、いろんな種類のPDがあるため、これではそもそもPDが何を表しているのか不明、という問題もある。
 
確かにハザードレートはデフォルト確率を表す概念の一つではあるが、
ハザードレートはいわゆる累積PDや限界PDと呼ばれるものとは異なる。
 
ハザードレートは、現在までデフォルトが起こっていないという条件のもとで、次の瞬間にデフォルトする確率であり、条件付き確率であることに注意が必要だ。
 
累積PDや限界PDは条件付き確率ではない。
・累積PD=1.0 – 累積生存確率
・限界PDは累積PDを時間について微分したもの
である。
 
ハザードレートがフラットの場合、
累積生存確率=exp(-λt)
限界PD=λ exp(-λt)
と簡単な形で書ける。
 
つまり、
限界PD=ハザードレート×累積生存確率
となる。
 
書き換えると、
ハザードレート=限界PD/累積生存確率
となる。
累積生存確率で割っている形なので、ハザードレートが、生存しているという条件付きの確率になっていることがわかる。
 
さらに言うと、
 
・ハザードレートは限界PDとは一致せず、
・ハザードレートと限界PDの差は、累積生存確率が1.0よりどれくらい小さいかによって決まる、
 
ということがわかる。
 
限界PDはデリバティブのテキストではよくデフォルト密度(default density)などと呼ばれる。
このため、書き換えると、
 
デフォルト密度=ハザードレート×累積生存確率
 
ということになり、この形でクレジットリスクの本に載っていることも多い。
なお、この関係式はいわゆるクレジット・トライアングルとは関係ない。
 

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