【簡単にわかりやすく】スプライン関数による曲線補間

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スプライン補間とは

まず、補間というのは、飛び飛びにしか値がない散布図のようなグラフにおいて、値が観測されないスキマを埋めるように線を引くことである。2つの点を直線で結んでしまうのが線形補間で、2つの点を曲線で結ぶのが曲線補間、ということになる。

曲線補間には多くの種類がある。曲線といってもいろんな曲線があるからである。曲線補間の一つの例がスプライン補間である。さらに、スプライン補間にも多くの種類がある。ここでは応用上よく使われる自然三次スプライン補間 (Natural Cubic Spline Interpolation) に限定して書いていく。

ここで説明する自然三次スプライン補間は、2つの点を三次多項式の曲線で結ぶものである。三次多項式というのは以下の式である。

\(f_i (x) = a_{i0} + a_{i1} x + a_{i2} x^2 + a_{i3} x^3 \)

\(x\)についての三次式になっている。ここで\(a_{i0}, a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}\)の4つが推定しないといけない係数(パラメーター)である。

関数名や係数に添え字\(i\)が付いているのは、区間ごとに異なる曲線で補間したいからである。
例えば点が3つあれば、3点のスキマは2か所あるので、

  • 曲線1で1つ目と2つ目の点の間を補間する
  • 曲線2で2つ目と3つ目の点の間を補間する

という具合だ。
異なる曲線(別の曲線)ということの意味は、係数の値が違うということであり、曲線1も曲線2もどちらも三次多項式である点は同じである。

スプライン関数の係数の求め方

三次スプライン補間では、三次多項式の係数を求めないといけない。したがって、推定しないといけない係数が(定数項を含めて)4つある

この係数を求めるために、最低限の条件として「左端と右端の2つの点を通る」を課す。しかし、4つの値を決めるには全部で4つの制約式が必要なので、これだけでは条件の数が足りない

ここでは具体例として、点が3つあって、その間を2つのスプライン曲線で補間することを考える。
2つ曲線があるので4パラメーター×2曲線で合計8個のパラメーターを推定しないといけない。

まず、曲線1は\(x_1, x_2 \)の2つの点を通るので、
\(f_1 (x_1) = y_1 \)
\(f_1 (x_2) = y_2 \)
の2つの制約式ができる。

次に、曲線2は \(x_2, x_3 \)の2つの点を通るので、
\(f_2 (x_2) = y_2 \)
\(f_2 (x_3) = y_3 \)
の2つの制約式ができる。

これで合計4つの式ができた。8個のパラメーターを決めるには、あと4つの式が必要である。

スプライン補間では、曲線のつなぎ目をなめらかにするために、2つの曲線で一次微分と二次微分が一致する、という条件を課す。曲線のつなぎ目は今の例では\(x_2\)の1つだけであり、この点において、

  • 一次微分の値が曲線1と曲線2で同じ
  • 二次微分の値が曲線1と曲線2で同じ

という2つの制約式ができる。これで合計6つの式ができた。あと2つの式が必要である。

最後に、自然スプライン補間では、両端の点で二次微分がゼロとする

  • 左端の点である\(x_1\)で曲線1の二次微分がゼロ
  • 右端の点である\(x_3\)で曲線2の二次微分がゼロ

これで合計8つの制約式ができたので、連立方程式として解いて、8つの係数が求まる。

ファイナンスでの使い所

現在時点において観測されるイールドカーブを満期方向に補間する際、スプライン補間がよく用いられる。

ただし将来時点におけるイールドカーブをシミュレーションする場合は金利の期間構造モデルを使って求めるので、イールドカーブはあらゆる満期の値をモデルで求めることができる。このため、将来時点のイールドカーブを満期方向に補間する必要はなく、スプライン補間などの補間ロジックは不要である。

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