金利の期間構造モデルのトレンドの移り変わり: 正規分布型と対数正規分布型

金利の期間構造モデルには大きく分けて2種類ある。

・Hull-Whiteなどの低次元マルコフモデル

・LMMなどのマーケットモデル

ショートレートモデルなどの低次元マルコフモデルでは、金利のモデリングを正規分布型で話を進めることが多い。

もっとも、昔のように高金利の環境では、Black-Karasinskiモデルなど、ショートレートを対数正規分布型でモデリングするものも使われていたようだ。しかし昨今の低金利の環境では特に、低次元マルコフモデルは、正規分布型でモデリングすることが多い。

金利は低金利になるほど正規分布に近く、高金利になるほど対数正規分布に近くなることが知られている。

昨今の低金利環境では、以下のような考えで、ショートレートモデルは正規分布型で使われている。

・金利が低いので正規分布型にする

・どれだけマイナス金利が深堀りされても対応できるように正規分布型にする

一方で、LMMなどのマーケットモデルでは、対数正規分布型でモデリングする文献が多く、正規分布型のマーケットモデルはあまり見かけない。

これは、LMMが流行ったころはまだ欧米も比較的高金利で、対数正規分布をベースに考えることが多かったからかもしれない。あとは、対数正規分布をベースにすれば、シフト幅を導入することで容易にスキューを表現できるから、というのもあるだろう。

もちろん、昨今のマイナス金利環境では、LMMはスキューよりもむしろマイナス金利に対応するために、シフト幅を導入することでShiftedLMMとして用いられている。これは、シフトしたら対数正規分布型になるものだから、結局、対数正規分布型だ。もちろん、対数正規分布型といっても、LMMでは、シフト幅に加えて、確率ボラティリティを導入することが多いため、1つ1つのLIBORがそれぞれのフォワードメジャーのもとで、きれいな対数正規分布に従うわけではない。

というわけで、昨今使われているのモデルは、以下のどちらかのパターンが多い。

・正規分布型の低次元マルコフモデル

・シフトさせた対数正規分布型のマーケットモデル