【スマイルのダイナミクス】ボラティリティスマイルのバックボーンとは

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ボラティリティスマイルのダイナミクス

スマイルのダイナミクスの説明としてよくあるのは、フォワードが動いたときにスマイル全体が左右どちらに動くか、というものだ。フォワードが上がったとき、スマイルが右シフトするのがスティッキーデルタである。

この、左右どちらにスマイルがシフトするか、という話とは別に、もう一つの観点がある。それは、フォワードが動いたときに、ATMボラティリティが上がるのか下がるのか、という観点である。つまり、スマイルの左右シフトの話ではなく、上下シフトの話である。

このスマイルの上下シフトに関係しているのが、スマイルのバックボーン(backbone)である。

ボラティリティスマイルのバックボーンとは

スマイルのバックボーンとは、フォワードが動いたときに、ATMボラティリティが動いていく軌道のことである。

フォワードが上がるとATMボラティリティが下がるのであれば、右下がりのバックボーンになる。
逆に、フォワードが上がるとATMボラティリティも上がるのであれば、右上がりのバックボーンになる。

SABRモデルの場合

例としてSABRモデルを考える。SABRモデルについては以下の過去記事を参照。

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SABRモデルにおいて、ATMのBlackボラティリティはざっくりと以下のように近似できる。

$$ \alpha F^{\beta – 1} $$

ここで、$\alpha$は確率ボラティリティの初期値、$F$はフォワード、$\beta$はパラメーターである。

これを見ると、SABRモデルのバックボーンは、パラメーター$\beta$の水準によって決まることがわかる。（$\beta$は0と1の間の値をとる。）

$\beta$が0に近い場合、ATMボラティリティは$\alpha / F$に近くなる。フォワードが上がるとATMボラティリティは大きく下がるので、傾きのきつい右下がりのバックボーンになる。
$\beta$が1に近い場合、ATMボラティリティは$\alpha$に近くなる。フォワードが動いてもATMボラティリティはあまり影響を受けないので、傾きのゆるい右下がりだがほぼフラットに近いバックボーンになる。

よってSABRモデルの$\beta$は、マーケットのバックボーンに合うように設定する必要がある。設定方法としては、トレーダーが持つバックボーンの感覚に合うように設定することが多いだろう。ちなみにSABRの原論文では、フォワードとATMボラティリティのヒストリカルデータから、$\beta$を回帰分析で求めることが提案されている。