スマイルモデリングの２つの観点

⑴今日のスマイルにフィットしているか。

⑵将来のスマイルの動きを表現できるか。

 

この２つの観点を明確に切り分けて考えることが重要である。

 

なぜなら、プライシングモデルには、

・１つ目はうまくできるが、

・２つ目はうまくできない、

というものもあるし、その逆もあるからだ。

 

バニラ商品のプライシングには１つ目だけでいいが、エキゾチック商品、特に経路依存の商品のプライシングには、１つ目に加えて２つ目の観点が欠かせない。

 

１つ目の、今日のスマイルにフィットしているということは、各満期に対する原資産の分布が、市場にフィットしているということである。

 

ここで分布というのは、原資産が各行使レートに到達する確率のことであり、条件付き確率ではなく、条件なしの確率である。

 

一方、２つ目の、将来のスマイルの動きを表現できるということは、原資産が動いて、スマイルの下の頂点部分が移動したとき、スマイル全体がどのように移動するか、という市場のスマイルのダイナミクスを再現できる、ということである。言い換えれば、将来からさらに将来への推移確率が、市場にフィットしているということになる。

これは将来の話なので、当然、将来の原資産がどの水準にいるか、ということに依存する。もし仮に原資産がこの水準になっていたとすると、という条件付きの話である。

 

１つ目の、今日のスマイルへのフィッティングは、条件なしの話であり、根本的に異なる。これは今日から将来への推移確率の話だが、今日というのは不確実性がなく、すでに目の前に実現している。今日の予報における、あさっての降水確率のようなものだ。

 

一方、２つ目の話は、将来からさらに将来への推移確率なので、起点となる将来が、どのような状態なのかによって変わってくる。仮に明日が曇りだったとき、明日の予報における、今日から見てあさって、つまり明日における明日の降水確率のようなものだ。これは、仮に明日が晴れていた場合には、異なる確率になっているはずであり、明日の天気の状態に依存する。将来の状態によって変わってくる、条件付き確率である。