伝統的なHull-Whiteモデルとは

また、最近ではCVA計算などを念頭に、伝統的なHWモデルそのままではなく、より計算効率の良い実装が行われている。

これらにはGSRモデルやLGMモデルなどがあるが、ここでは伝統的なHWモデルについて考える。

 

教科書に必ず出てくるBlack-Scholesモデルは、原資産の変化率が正規分布に従うものだが、金利モデルの多くは原資産自体が正規分布に従うものであり、HWモデルもそうである。これは、金利それ自体が既に変化率を表しているからである。

 

HWモデルのパラメーターは以下の３つ。

 

・Theta

・Kappa

・Sigma

 

伝統的なHWモデルでは、時点に依存するパラメーターはThetaのみで、KappaもSigmaもフラットとする。

 

まずThetaは、平均回帰水準を表している。

Todayのイールドカーブを再現するように設定される。

しかしそのようなThetaは解析的に求められるため、特にキャリブレーションは必要ない。

ところが、Thetaの解析式に瞬間的なフォワードレートが含まれているため扱いづらい。

 

ちなみにモダンなHWモデルでは、あらかじめThetaをTodayの割引債価格で置き換えた式を用いる。

 

次にKappaは、平均回帰の強さを表している。

期間の異なる金利間の相関にキャリブレーションするのが理想だが、

実際にはSigmaとともに市場のスワップション価格に最適化でキャリブレーションすることになる。

 

ちなみにモダンなHWモデルでは、Kappaはトレーダーインプットになっており、5%などと適当な値が設定されている。

もちろん適当というのは完全にデタラメということではなく、Totemのバミューダンスワップション価格に合うように設定されることが多い。

 

最後にSigmaは、ショートレートのボラティリティを表しており、市場のスワップション価格に最適化でキャリブレーションする。

 

HWモデルの使い道としては、

 

・コーラブル条項付きの金利系エキゾチック商品のプライシング

・金利為替や金利株価などハイブリッドモデルの金利部分として使う

・CVAなどXVA計算の金利シナリオ生成

 

などがある。