ボラティリティサーフェイスの無裁定条件: 2つある

市場のボラティリティサーフェイスをいい加減に補間・補外すると、裁定機会が生じてしまう。

 
まず、用語として、ボラティリティサーフェイスとは、
1つの原資産について、
・縦軸をオプション満期
・横軸をストライク(または、マネーネスやデルタ)
としてボラティリティをマトリックスで書いたものである。

 

このボラティリティマトリックスが無裁定になるには、以下の2つの条件を満たしていないといけない。
 
⑴カレンダースプレッド条件
⑵バタフライスプレッド条件
 
⑴が満期方向の補間・補外
⑵がストライク方向の補間・補外
に関係している。
 
 
⑴カレンダースプレッド条件は、ドリフトの影響を無視すれば、
 
・ストライクが同じであれば、満期の長いオプションの方が価値が高い
 
というものである。
実際はドリフトがあるのでもう少し話が複雑になってしまうが、イメージとしては上のような感じで良いだろう。
 
満期が1Yと2Yのオプションを考える。
ここで、計算基準日を1Yにしよう。
すると、満期1Yのオプション価値は残存期間がゼロなので、本源的価値しかない。つまりオプションのペイオフそのものである。
一方、満期2Yのオプション価値は残存期間が残っているので、本源的価値に加えて、時間価値もある。
このため、1年後において、満期2Yのオプション価値は、満期1Yのオプション価値より大きい。
ここから、時点ゼロにおいても、満期2Yの方が満期1Yよりもオプション価値が大きい、ということがわかる。
 
要するに、
 
・オプション価値は満期の一階微分の符号がプラス
 
ということである。
これがカレンダースプレッド条件である。
ドリフトの影響を加味すると式はもう少しややこしくなる。
 
 
⑵バタフライスプレッド条件は、
 
・バタフライ取引のオプション価値は符号がプラス
 
というものだ。
・ストライクKのストラドル: -2/ε^2 単位
・ストライクK-ε, K+εのストラングル: 1/ε^2 単位
のバタフライのポジションを考えると、
その価値はε→0の極限において、
オプション価値のストライクに関する二階微分となる。
 
要するに、
 
・オプション価値はストライクの二階微分の符号がプラス
 
ということである。
 
一般に、オプション価値をストライクについて、
・一回微分するとデジタルオプション価値が出てくる
・二回微分すると確率密度関数が出てくる
 
このことから、⑵バタフライスプレッド条件は、言い換えると、
 
・確率密度関数の値は符号が正
 
ということであり、こう言われると当たり前であり、当然成り立つと思うだろう。
しかしながら、いい加減にスマイルをストライク方向に補間・補外すると、これが成り立たなくなる、というのはよくあることである。
 

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