確率解析の理論本おすすめ6選【確率過程の教科書/参考書】

はじめに

確率解析、確率微分方程式、確率過程の理論を学ぶのにおすすめの本を難易度順に紹介していく。

今回の記事では数理ファイナンスへの応用ではなく、確率解析の理論をあくまで数学の一分野として学ぶ人向けである。

1.(初級レベル)成田本

計算と例題で「なるほど」と分かる確率微分方程式

  • 取っ掛かりの一冊目に良い
  • 具体例が多く、初心者への配慮がなされている
  • 定理の証明は省略しがちなので、厳密に理論を学びたい人は他の本が必要
  • 手を動かして式変形しながら確率解析に慣れ親しむことができる
  • 例題、演習問題が多いので問題集・ワークブック感覚で学びたい人におすすめ

2.(初級レベル)エクセンダール本

確率微分方程式

  • 理論を解説した本にしては、読みやすさに定評のある本
  • 定理の証明に行間があまりなく、スムーズに読める
  • 最初に学ぶ人が引っかかりやすい疑問点について、先回りして説明してくれる箇所もあり、親切
  • カラザスシュリーヴ本などに比べると論証の厳密性は下がるが、その分だけ初心者にとってわかりやすい
  • ファイナンスや経済学等への応用を意識した章もある

3.(中級レベル)舟木本

確率微分方程式

  • 定理→証明が続く、数学書の形式をとっているが、説明が丁寧でわかりやすい
  • 長い証明については、いくつかのステップに分けて、「全体の中で今はどこの証明をしているのか」を説明してくれるので、読んでいる途中で迷子になりにくい
  • 数学書をある程度読み慣れている人なら、確率解析の理論を学びたい人の一冊目として定番であり、おすすめ

4.(中級~上級レベル)長井本

共立講座21世紀の数学 (27) 確率微分方程式

  • 確率制御の目線で確率解析を解説した本として貴重
  • コンパクトにまとまっている
  • 一般的な設定で議論を進めるので、他の本である程度学んでからチャレンジしたい
  • 証明の行間は広めで、説明は簡潔であっさりしているので数学徒向け。

5.(上級レベル)カラザスシュリーヴ本

ブラウン運動と確率積分

  • 確率解析の数学書として最も定番のテキスト
  • たいていのことが書いてあり、辞書として手元に置いておきたい
  • 有益な注釈がRemarkに書かれていたりするので、読み直すに従って良さがわかってくるスルメ本
  • 確率論・確率解析の専攻学生がM1のセミナーで輪読することが多い
  • 分厚い本であり、厳密に書かれているので、独学というよりは輪読向き

6.(上級レベル)谷口松本本

確率解析 (確率論教程シリーズ)

  • 伊藤解析とマリアヴァン解析の両方を解説する和書として貴重
  • とにかく情報量が多い
  • 一冊目では厳しい。二冊目以降に読む本

(番外編)(超上級レベル)重川本

確率解析

  • おそらく確率解析の和書で最も難しい本
  • マリアヴァン解析(無限次元確率解析)において、数少ない日本語の文献
  • 伊藤解析と関数解析の深い理解が前提となっている
  • 身の回りでこれを読み切れた人はほぼ聞いたことがない

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