【金利の期間構造の推定】ネルソンシーゲルモデル(Nelson-Siegelモデル)とは【イールドカーブ/利回り曲線の補間・補外】

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概要

ネルソンシーゲルモデル(ネルソンシーゲル法)は、国債など債券市場のイールドカーブを期間方向に補間・補外するのに用いる。

実際に市場で観測される債券イールドカーブに上手くフィットでき、超長期ゾーンへの補外も自然に行えるため、債券トレーダーの間では一般的であり、実質的な標準モデルになっているようだ。

特徴は以下の通り。

  • 3つのパラメーターがそれぞれイールドカーブの水準、傾き、曲率を表しており、実務家にとってわかりやすい
  • ファクターおよびパラメーター数が最低限の数に抑えられており、過学習(オーバーフィッティング)によって推定結果が不安定になる恐れが少ない
  • マーケットでクォートされているグリッドの債券イールドを完全には再現しない。つまりキャリブレーション誤差が生じる

ネルソンシーゲル関数を簡単にわかりやすく

Nelson-Siegelモデルでは、各満期Tの瞬間フォワードレートに以下の式を仮定する。

\(f(T) = \beta_0 + \beta_1 \exp{\left(−\frac{T}{\tau}\right)} + \beta_2 \left( \frac{T}{\tau} \right) \exp{\left(−\frac{T}{\tau}\right)}\)

ここで、\(\beta_0, \beta_1, \beta_2\)の3つがカーブにフィットさせるパラメーターであり、それぞれ、イールドカーブの水準、傾き、曲率をコントロールする。\(\tau\) もパラメーターだが何らかの値で事前に固定することが多いようだ。

パラメーターの意味を直感的に理解する

満期Tにゼロと\(\infty\)をそれぞれ入れてみると、

\(f(0) = \beta_0 + \beta_1\)
\(f(\infty) = \beta_0\)

となる。したがって、パラメーター\(\beta_1\)は、

\(\beta_1 = f(0) – f(\infty)\)

となる。

まず \(\beta_0\) は、満期Tに依存しない項の係数であるため、\(\beta_0\) が動くとイールドカーブ全体がシフトすることがわかる。これと \(f(\infty) = \beta_0\) を合わせて考えると、

  • \(\beta_0\) は長期的な金利水準を表し、イールドカーブ全体の水準をコントロールする

ことがわかる。

次に、\(\beta_1\) は、満期について減衰する項の係数であるため、満期が長いほど \(\beta_1\) が及ぼす影響は小さくなっていく。したがって、

  • \(\beta_1\) の符号がプラスの場合、右下がりのカーブ
  • \(\beta_1\) の符号がマイナスの場合、右上がりのカーブ

を表現できる。これと \(\beta_1 = f(0) – f(\infty)\) を合わせて考えると、

  • \(\beta_1\)は長短金利差を表し、イールドカーブの傾きをコントロールする

ことがわかる。

最後に、\(\beta_2\)は、満期について「増加する項」と「指数的に減衰する項」の積にかかる係数である。このため、満期方向に見ていったときに、

  • \(\beta_2\) の符号がプラスの場合、いったん増加した後に減少する
  • \(\beta_2\) の符号がマイナスの場合、いったん減少した後に増加する

というカーブの「こぶ」形状を表現できる。このことから、

  • \(\beta_2\) はカーブの曲率を表し、「こぶ」の曲がり具合をコントロールする

ことがわかる。

ところで、瞬間フォワードレートの式に含まれているパラメーター \(\tau\)(タウ)は、カーブの「こぶ」をどの満期のあたりに作るか、をコントロールする。

しかし実務では、あらかじめ適当な値を設定し、所与としてその他の3つのパラメーターを推定する。\(\tau\) の値をいろいろと変えてみて、最もフィッティングがよくなる \(\tau\) を採用する、ということになる。

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