Black-Scholesの偏微分方程式を直感的に理解する

Black-Scholesの偏微分方程式(PDE)は、無裁定の仮定により導出されるもので、広範囲に渡るデリバティブの価格が満たす方程式である。

これに対して、本などでよく出てくるBlack-Scholes式は、ペイオフがバニラなコールまたはプットに限定した場合のオプション価格式であり、Black-ScholesのPDEとは適用できる商品の範囲が大きく異なる。

ざっくり言うと、

・Black-Scholesの偏微分方程式: 任意のデリバティブ

・Black-Scholesのオプション価格式: バニラオプションのみ

ということである。

Black-ScholesのPDEは、次のようなものである。

(∂V/∂t) + (r – q) S (∂V/∂S) + (1/2) (σ^2) (S^2) (∂^2 V/∂S^2) = r V

以下では通貨オプションを例に考える。Vはデリバティブ価格、Sは原資産価格、rは国内金利、qは外国金利、σはボラティリティである。

これを4つの項に分解して解釈する。

第1項: (∂V/∂t)

これはいわゆるセータの項である。時間の経過によるデリバティブ価格の変化を表す。

第2項: (r – q) S (∂V/∂S)

これはいわゆるキャリーの項である。Black-ScholesのPDEはデルタヘッジを前提としているため、外貨のポジションは -(∂V/∂S) であり、外貨を

 -(∂V/∂S) だけ持っているとイメージしよう。すると、外国金利はqであるから、受け取る外国金利は外貨建てで -q(∂V/∂S) である。これを為替レート(つまり原資産価格を国内通貨建てで表したもの)Sで国内通貨建てに直すと、外国金利は -q S (∂V/∂S) だけ入ってくる。

ここで、無裁定価格理論では、無一文の状態からスタートする、ということを思い出そう。外貨のポジションを -(∂V/∂S) だけ作るためには、為替レートSをかけて、国内通貨建てで - S (∂V/∂S) だけ借りてこないといけない。よってこの国内通貨のポジションからは、国内金利rがかけられて、- r S (∂V/∂S) だけ支払うことになる。符号を逆転させれば、r S (∂V/∂S) だけ受け取ることになる。

以上から、外貨と国内通貨のポジションから入ってくる金利を合計すると、

-q S (∂V/∂S) + r S (∂V/∂S) = (r - q) S (∂V/∂S)

となり、これが第2項である。

第3項: (1/2) (σ^2) (S^2) (∂^2 V/∂S^2)

これはいわゆるガンマの項である。この理解は少し難易度が上がる。

いま、デリバティブ価格Vが時間tと原資産Sに依存しているとすると、V(t, S)と書けるが、これの微小な変化dV(t, S)は、

dV(t, S) = (∂V/∂t) dt+ ∂V/∂S dS + (1/2) (∂^2 V/∂S^2) dS dS

と書ける。しかし、いまデルタヘッジを前提としているから、デルタV'(S)の項は落とせる。よって、

dV(S) = (∂V/∂t) dt + (1/2) (∂^2 V/∂S^2) dS dS

となり、セータ ∂V/∂t の項と、ガンマ ∂^2 V/∂S^2 の項が残る。

さらに、Black-Scholesモデルにおいては、

dS = r S dt + σ S dW

であり、

dS dS = (σ^2) (S^2) dt

であることを思い出そう。すると、

dV(S) = (∂V/∂t) dt + (1/2) (∂^2 V/∂S^2) (σ^2) (S^2) dt

右辺をdtで割ればよい。セータの項は第1項ですでに考慮済みであり、ガンマの項が第3項に対応している。

第4項: r V

これは無リスクキャッシュポジションの項である。国内通貨建てのデリバティブ価格Vを運用して得られる金利を表している。

以上から、ざっくり次のように理解できるだろう。

・第1項と第3項が、デルタヘッジされたデリバティブ価格の変化を表しており、これはヘッジ対象のリターンである

・第2項と第4項が、ヘッジに用いた原資産と無リスクキャッシュからのリターンを表しており、これはヘッジ手段のリターンである

・無裁定の仮定により、ヘッジ対象とヘッジ手段のリターンが同じになる