ざっくり解説
フォワードスマイルとは、将来時点T1に観測される、オプション満期T2のボラティリティスマイルである。
例えば、今日から１年後に観測される、オプション満期１年のボラティリティスマイルを考える。これはフォワードスマイルであり、今日に観測されるオプション満期２年のボラティリティスマイルとは性質が異なる。確かに、今日から１年後にオプション満期が１年になるということは、今日から見るとオプション満期は２年である。
しかしながら、１年後に観測される、オプション満期１年のボラティリティスマイルは、当然ながら、１年後のマーケットによって変わってくる。このため、フォワードスマイルはこの例では、１年後における原資産価格を所与としたときのボラティリティスマイルを表している。
ボラティリティスマイルから任意のストライクのバニラオプション価格が得られるが、それを用いてバニラオプション価格の１階微分を数値的に計算することができる。バニラオプション価格の１階微分は大まかに言えば原資産の分布関数であり、その満期において原資産がストライクに到達する確率となっている。
ここで、今日観測されるボラティリティスマイルと、モデルで生成される１年後におけるボラティリティスマイルを対比すると、以下の通り。
・今日観測されるボラティリティスマイルから得られる満期２年の分布は、条件なしの確率である。
・１年後におけるボラティリティスマイルから得られる満期１年の分布は、１年後の原資産価格を条件とした条件付き確率である。
２点目の条件付き確率については、言い換えると、１年後に価格がS1だった原資産が、さらにその１年後に各ストライク(K1, K2, …, Kn)に到達する確率である。このような将来から将来への確率を、推移確率や遷移確率（transition probability）と呼ぶ。
以上から、フォワードスマイルは条件付き確率（＝推移確率）と関連していることがわかる。バニラオプションのプライシングに必要なのは条件なしの確率だけだが、経路依存商品のプライシングでは条件付き確率（＝推移確率）が必要になる。
最もポピュラーな経路依存商品はバリアオプションだろう。バリアオプションのプライシングは、ノックアウトオプションであれば、バリアにヒットしなかった場合の原資産パスからしかペイオフが発生しない。このため、バリアにヒットしなかったという条件付きでバニラオプションをプライシングしないといけない。アップアウトのコール（＝リバースノックアウトコール）であれば、満期より手前では原資産があまり上昇しなかったという条件のもとで、満期においてストライクより高くなる確率、つまり条件付き確率がプライシングに必要となる。
フォワードスマイルは、原資産に何らかのモデルを仮定してそこから生成されるが、それはモデルが生成するスマイルのダイナミクスに強く依存する。このため、生成されるフォワードスマイルはモデルによって全く異なってくる。