CVAの計算グリッドと数値積分

 

CVAは各時点のエクスポージャーにディスカウントファクターとデフォルト確率をかけて、時点に渡って合計し、最後にLGDをかければ完成である。

 

時点に渡って合計するのはなぜかというと、どこでデフォルトするかわからないからである。

 

デフォルトし得る時点を計算グリッドとして指定し、仮にその区間でデフォルトした場合に、デフォルト時点で発生しているであろうエクスポージャーを求める。

あとは、これら各区間のエクスポージャーに、

各区間でデフォルトする確率をかけて合計すれば、

平均的に発生するエクスポージャーを見積もることができる。

 

ここで、各区間のエクスポージャーを、どの時点で計測するか、という問題がある。

 

区間なので、始まりと終わりがある。

この、区間の始まりの時点と、終わりの時点については、計算グリッドであるから、これら２つの時点における取引の時価は求められる。

しかし、この区間の始まりと終わりの間の期間において、取引の時価がどのように推移するかはわからない。計算グリッドが存在しないからである。

 

例えば区間を6ヶ月ごとに設定した場合、1年後から1年6ヶ月後の間の6ヶ月間については、どの日付であっても、その日付における取引の時価はわからないため、エクスポージャーもわからない。

しかし、ピッタリ1年後とピッタリ1年6ヶ月後におけるエクスポージャーはわかる。

 

このとき、1年後から1年6ヶ月後の間でデフォルトが発生したとして、そのデフォルト時点におけるエクスポージャーは、どう求めればよいのか。

エクスポージャーを求められるのは、ピッタリ1年後とピッタリ1年6ヶ月後の２つの日付のみである。

このため、選択肢としては以下が考えられる。

 

⑴区間の左端、つまり1年後におけるエクスポージャーを用いる

 

⑵区間の右端、つまり1年6ヶ月後におけるエクスポージャーを用いる

 

⑶1年後におけるエクスポージャーと、1年6ヶ月後におけるエクスポージャーの、平均値を用いる

 

他にもありえるかもしれないが、シミュレーションでエクスポージャーを求められる時点は、区間の左端と右端の２つしかないため、やり方の選択肢はかなり限られてくる。

 

上記のように、

・区間のどの時点における値を計算に用いるか

という話は、いわゆる台形則など、一般的な数値積分のアルゴリズムに出てくる話と同じである。

 

区間の左端と右端の間のどこかで、

 

・大きなキャッシュフローがある

 

・ポートフォリオ全体のエクスポージャーに大きく寄与している取引が満期を迎える

 

といった場合には、上記の⑴から⑶のどの方法を採用するかによって、仕上がりのCVAがけっこう変わってくるだろう。