偏微分方程式の陽解法と陰解法

PDEの数値解法は陽解法と陰解法の2つに大きく別れる。

 
陽解法は、PDEを満期からバックワードに解いていく際に、
ひとつ手前の時点の価値=・・・
の形に直せる方法である。よって逆行列を求める必要がなく、解析的に次の値が出せる。
 
一方で、陰解法は、
ひとつ手前の時点の価値=・・・
の形に直せない方法である。つまり、連立方程式になっているため、その係数からなる行列の逆行列を求めないと解けない。
 
こう見ると、一見、陽解法の方が良さそうであり、陰解法は何のためにあるのか、と思うかもしれない。
しかし実務で使うのは必ず陰解法である。
 
その理由は、
・陽解法はかなり細かく時間軸を区切ってあげないと、結果が不安定になる
・陰解法にはそのような制約がない
・陰解法で求めないといけない逆行列は、もとの行列が三重対角行列なので、効率的に求められる
からである。
 
陽解法と陰解法は一般化すると同じ形で表現することができて、結局PDEの数値解法は、
・現在の時間グリッドにおける値に、行列を乗じること
を時間グリッドの数だけ繰り返すことと同じである。
 
このため、求めたい現在における価値は、
・満期におけるペイオフに何らかの行列を何回も掛け続けること
により得られる。
 
行列を何回も掛け続けるということは、一回の行列演算で生じる離散化誤差が、累積されていく可能性がある、ということだ。
 
この、何回も掛け続ける行列の固有値について、その絶対値が1より小さければ、誤差が累積していかないことになる。
 
誤差が累積していかない、という条件を書き換えていくと、結局、
・陰解法は常に安定的だが、
・陽解法は厳しい条件をクリアしないと安定的にならない、
ということがわかる。
 
この厳しい条件というのは、
・原資産グリッドに比べて、時間軸グリッドをかなり細かく区切らないと、誤差が累積していく
というものである。つまり時間軸の方をひたすら細かく区切ればいいのだが、それでは計算に時間がかかり、なにより効率が悪い。
 
そういうわけで、陽解法が出てくるのは教科書ぐらいであり、実務では陰基本的に解法しか使わないのである。
陰解法にはいろんなスキームがあるため、それらについても別の記事で書いていきたい。

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