目次
はじめに
セルサイドクオンツ就活の筆記試験や面接で出題されそうな計算問題を毎日つらつら書いていくシリーズ（１記事で10問くらいを目安に掲載）。なお、数学的な厳密性にはこだわらない。
以下では \(W_t\) を標準Brown運動とする。
参考文献
問題
問題１
次の確率積分を計算せよ。
\(\int_0^T W_t dW_t\)
ヒント
伊藤の公式を使って \(W_t ^2\) の確率微分 \(d \left( W_t ^2 \right)\) を計算し、両辺を積分する。
問題２
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}[W_t W_s]\)
ヒント
\(t > s\) の場合と \(t \leq s\) の場合に分ける。
\(t > s\) の場合は、\(W_t W_s = (W_t – W_s)W_s + W_s^2\) と書き換えてブラウン運動の独立増分性を使う。
問題３
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ W_T \int_0 ^T W_s ds \right]\)
ヒント
（何のためらいもなく）期待値と積分を順序交換し、上記の問題２の結果を使う。
問題４
伊藤の等長性 (Ito’s Isometry) を用いて、次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t d W_t \right) ^2 \right] \)
ヒント
そのままだが、\(\mathbb{E} [W_t ^2] = t\) を用いる。
問題５
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \int_0 ^T W_t ^2 dt \right] \)
ヒント
Fubiniの定理で期待値と積分を順序交換し、Brown運動の性質を用いる。
問題６
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}[W_t ^4]\)
ヒント
伊藤の公式で \(d(W_t ^4)\) を計算し、両辺を積分する。伊藤積分の期待値がゼロであることと、上記の問題５の結果を使う。
問題７
次の期待値を、伊藤の等長性を用いずに、問題１と問題６の結果を使って計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t d W_t \right) ^2 \right] \)
ヒント
問題１の結果を代入し二乗すると、\(W_t ^4\) と \(W_t ^2\) が出てくる。あとはこれらの期待値を用いて計算する。
問題８
伊藤の積の公式を用いて次の期待値と分散を求めよ。
\(\int_0^T W_t dt\)
ヒント
積の公式は
\(d(X_t Y_t ) = Y_t dX_t + X_t dY_t + dX_t dY_t\)
であり、これを \(t W_t\) に適用し両辺積分、１つの伊藤積分にまとめる。分散の計算には伊藤の等長性を用いる。
問題９
伊藤の積の公式を用いずに、次の期待値を求めよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t dt \right)^2 \right]\)
ヒント
これは問題８の別解になる。積分の二乗を二重積分に直し、期待値と積分を順序交換する。問題２の結果を代入して二重積分を実行する。
問題１０
次の期待値と分散を求めよ。
\(\int_0^T t dW_t\)
ヒント
分散は伊藤の等長性を用いる。
解答
問題１
次の確率積分を計算せよ。
\(\int_0^T W_t dW_t\)
解答
\(\frac{1}{2}\left( W_T ^2 – T \right)\)
問題２
次を計算せよ。
\(\mathbb{E}[W_t W_s]\)
解答
\(\min\{t, s\}\)
問題３
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ W_T \int_0 ^T W_s ds \right]\)
解答
\(\frac{1}{2}T^2\)
問題４
伊藤の等長性 (Ito’s Isometry) を用いて、次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t d W_t \right) ^2 \right] \)
解答
\(\frac{1}{2}T^2\)
問題５
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \int_0 ^T W_t ^2 dt \right] \)
解答
\(\frac{1}{2}T^2\)
問題６
次の期待値を計算せよ。
\(\mathbb{E}[W_t ^4]\)
解答
\(3T^2\)
問題７
次の期待値を、伊藤の等長性を用いずに、問題１と問題６の結果を使って計算せよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t d W_t \right) ^2 \right] \)
解答
\(\frac{1}{2}T^2\)
問題８
伊藤の積の公式を用いて次の期待値と分散を求めよ。
\(\int_0^T W_t dt\)
解答
期待値：\(0\)
分散：\(\frac{1}{3}T^3\)
注意点は
\(T W_T – \int_0^T t dW_t = \int_0^T (T – t) dW_t\)
と１つの伊藤積分にまとめる点。
問題９
伊藤の積の公式を用いずに、次の期待値を求めよ。
\(\mathbb{E}\left[ \left( \int_0^T W_t dt \right)^2 \right]\)
解答
\(\frac{1}{3}T^3\)
問題１０
次の期待値と分散を求めよ。
\(\int_0^T t dW_t\)
解答
期待値：\(0\)
分散：\(\frac{1}{3}T^3\)
問題８の結果と同じである。
参考文献