前回の続き。
前回は、マーケットストラングルのクォートについて説明した。今回はマーケットストラングルとリスクリバーサルを組み合わせて、Out of The Moneyのボラティリティを逆算する方法を説明する。
簡便な方法は以下の通り。
Smile(K_Call25) = Sigma_ATM + 0.5 Sigma_RR_25 + Sigma_S_Q_25
Smile(K_Put25) = Sigma_ATM – 0.5 Sigma_RR_25 + Sigma_S_Q_25
左辺のSmile(K)はストライクKに対応するスマイルボラティリティを返す関数である。K_Call25は25デルタのコールのストライク、K_Put25は25デルタのプットのストライクである。Sigma_ATMはATMボラティリティ、Sigma_RR_25は25デルタのリスクリバーサルのクォート、Sigma_S_Q_25は25デルタのマーケットストラングルのクォートである。これらの式をSigma_RR_25とSigma_S_Q_25について解いてみると、
Sigma_RR_25 = Smile(K_Call25) – Smile(K_Put25)
Sigma_S_Q_25 = 0.5 { Smile(K_Call25) + Smile(K_Put25) } – Sigma_ATM
を得る。1つ目の式については、リスクリバーサルの定義が再現しており、問題ない。
2つ目の式については、マーケットストラングルのクォートが、コールとプットのスマイルボラティリティの単純平均と、ATMボラティリティの差分で表されている。前回見たように、確かにマーケットストラングルは、コールとプットのスマイルボラティリティを「平均してならした」ものなのだが、単純平均するだけでは、厳密に正しいとはいえず、ベガで加重平均しないといけない。とはいえ、実務ではよくこの簡便法が用いられており、上記の式でコールとプットのスマイルボラティリティを逆算する、ということがよく行われている。この簡便法は、「もしリスクリバーサルがゼロであれば」厳密に正しい方法である。以下ではこれについて見ていく。
リスクリバーサルがゼロのとき、簡便法の式は以下の形になる。
Smile(K_Call25) = Sigma_ATM + Sigma_S_Q_25
Smile(K_Put25) = Sigma_ATM + Sigma_S_Q_25
Sigma_RR_25にゼロを代入しただけである。これを見ると、リスクリバーサルがゼロであれば、デルタ（の絶対値）が同じコールとプットのスマイルボラティリティは同じになることがわかる。これはリスクリバーサルの定義からも明らかである。さらに重要なのは、右辺の Sigma_ATM + Sigma_S_Q_25 はまさしく、マーケットストラングルのSingle Volatility：Sigma_S_M_25 に一致している。つまり、
Smile(K_Call25) = Smile(K_Put25) = Sigma_S_M_25
である。
したがって、マーケットストラングルの市場価格 Price_S_M_25 は以下のようになる。
Price_S_M_25 =
BS(Call, K_Call25_S_M, Smile(K_Call25))
+ BS(Put, K_Put25_S_M, Smile(K_Put25))
= BS(Call, K_Call25_S_M, Sigma_S_M_25)
+ BS(Put, K_Put25_S_M, Sigma_S_M_25)
これはまさしく、マーケットストラングルのSingle Volatilityの定義そのものである。コールとプットの両方にSingle Volatilityを適用すると市場価格Price_S_M_25に一致する、というのがマーケットストラングルのSingle Volatilityの定義であった。よって、リスクリバーサルがゼロの場合は、上記の簡便法は、インプットとして用いているマーケットストラングルのクォート定義と整合的である。しかしながら、リスクリバーサルがゼロでない場合は、必ずしもマーケットストラングルのクォート定義と整合的にならない。
最後に、ストライクについて、追加で記載しておくべきことがある。
リスクリバーサルがゼロであれば、スマイルボラティリティがマーケットストラングルのSingle Volatilityに一致しているわけだから、マーケットストラングルの25デルタコールのストライクは、
K_Call25_S_M = K_Call25(Sigma_S_M_25)
= K_Call25(Smile(K_Call25)) = K_Call25
となることがわかる。25デルタプットのストライクについても同様の関係が成り立つ。
K_Put25_S_M = K_Put25(Sigma_S_M_25)
= K_Put25(Smile(K_Put25)) = K_Put25
要するに、リスクリバーサルがゼロであれば、
・マーケットストラングルのSingle Volatilityから逆算した25デルタコールのストライクは、25デルタコールのスマイルボラティリティから逆算した25デルタコールのストライクに一致する。
・マーケットストラングルのSingle Volatilityから逆算した25デルタプットのストライクは、25デルタプットのスマイルボラティリティから逆算した25デルタプットのストライクに一致する。
ボラティリティが一致するということは、それに対応するストライクについても、スマイルと、マーケットストラングルのクォートとで、一致するわけである。