測度変換がわからない、と思ったら読む記事: その1

デリバティブプライシングで入門者がつまづきやすいのが、測度変換である。

ここでは測度変換について、あくまでデリバティブプライシングの応用上、必要最低限押さえておくべき考え方のみを記載する。

プライシングの応用上、測度変換は、

・正規分布の

・分散を変えずに

・平均だけを変更する

ための道具である。

要するに、正規分布の横の広がり具合はそのままで、分布の中心を左右にシフトするのである。

簡単な例として、以下のように3通りのペイオフがあるギャンブルを考える。

現実の確率測度では、

・確率1/3で3もらえる

・確率1/3で1もらえる

・確率1/3で1支払う

とすると、もらえる平均は、1/3 x 3 + 1/3 x 1 – 1/3 x 1 = 1である。

分散は、1/3 x (3 – 1)^2 + 1/3 x (1 – 1)^2 + 1/3 x (-1 – 1)^2 = 4/3 + 4/3 =8/3である。

いま、やりたいのは、

・平均を1ではなく、ゼロにしたい

・しかし、分散は8/3のままでないと困る

ということである。

ここでは簡単のため、平均をゼロにしたい、ということにしたが、このゼロというのは他のどのような値であってもよい。要するに平均をシフトさせたいのである。

このとき、測度変換よりも簡単な方法として思いつくのは、確率ではなく、受け払いする金額、つまりペイオフの方を変更する、という方法である。リスク中立確率ならぬリスク中立ペイオフである。

その場合、平均をゼロにしたければ、

・確率はそのままで、

・全てのペイオフから平均を引けばよい。

定数を引いても分散は変わらない。すると、

・3もらえる→2もらえる

・1もらえる→受け払いなし

・1支払う→2支払う

となり、平均は明らかにゼロである。

分散は、1/3 x (2 – 0)^2 + 1/3 x (0 – 0)^2 + 1/3 x (-2 – 0)^2 = 4/3 + 4/3 = 8/3のままである。

要件は満たしている。しかしこのアプローチはプライシングに用いられることはない。

なぜなら、これだと、ペイオフのシフト幅、つまり現実の確率測度における平均を、あらかじめ知っておかないといけないからである。現実の株価の成長率や、現実の為替レートの増価率は、わからない。

そこで、実際のプライシングでは、ペイオフを変更するのではなく、確率の方を変更する。

そのためには、3つの状態が起こる確率、p1, p2, p3を、以下3つの制約を満たすように求めればよい。

⑴合計は1

⑵平均はゼロ

⑶分散は8/3

こうすれば、分散はそのままで、平均だけをシフトすることができる。

未知数3つで制約式も3つなので、p1, p2, p3について解けるだろう。この新しい確率のもとで計算すれば、分散はそのままで平均をゼロにできる。

この方法であれば、あらかじめ知っておかないといけないのは分散だけである。

平均は、例えばゼロなど、自分が設定したい値に変更したわけだから、未知数ではない。

現実の確率測度も、知っている必要はない。新たに作った確率p1, p2, p3を使うからである。

そしてこれらの確率を求めるのに使ったのは、

・平均がゼロであること

・分散の値

の2つである。

分散が、実際にはボラティリティに対応しており、マーケットから取ってこれる。

平均が、実際にはドリフトに対応している。シフトした後の平均であるゼロが、無リスク金利に対応している。無リスク金利はマーケットから取ってこれる前提である(実務的にはこの点について、測度変換とはまた別の問題があるが)。

このため、平均のゼロに対応するものも、分散に対応するものも、マーケットから取ってこれる。したがって、新たに作った確率も計算できる。

以上は、S. N. ネフツィの『ファイナンスへの数学』を参考にした。

今回はこれくらいにしておこう。

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